La cinta de Möbius, uno de los objetos más icónicos en el mundo de las matemáticas, también es una de las formas geométricas más intrigantes y divertidas que existen. Su encanto radica en su simplicidad aparente: basta con tomar una tira de papel con un anverso y un reverso, retorcerla y unir sus extremos para que, de manera asombrosa, desaparezcan el anverso y el reverso.
Su historia se remonta a 1858, cuando dos matemáticos alemanes, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, crearon este objeto enigmático. Desde entonces, los matemáticos han estado intrigados por una pregunta aparentemente simple pero profundamente compleja: ¿cuál es la longitud mínima de una tira de Möbius?
En 1977, los matemáticos Charles Sidney Weaver y Benjamin Rigler Halpern propusieron la conjetura Halpern-Weaver para abordar este enigma. Esta conjetura establecía una relación entre la anchura y la longitud de la tira de Möbius, pero había un problema: para las tiras lisas que están "incrustadas", es decir, que no se cruzan entre sí, que no se intersecan, la conjetura no tenía solución.
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Schwartz comprueba la conjetura Halpern-Weaver
Richard Schwartz, un matemático de la Universidad de Brown, ha logrado recientemente un avance significativo en este enigma matemático. En un artículo publicado en el servidor de preimpresiones arXiv, Schwartz ha resuelto el misterio de casi medio siglo y ha demostrado la validez de la conjetura original de Halpern-Weaver: las tiras de Möbius lisas, hechas de papel, solo pueden construirse si tienen una relación de aspecto mayor a √3, aproximadamente 1,73. Esto significa que, por ejemplo, si la tira tiene un centímetro de ancho, debe ser más larga que √3 cm, según informó Scientific American.
Schwartz se embarcó en la búsqueda de esta solución hace cuatro años. Después de dos años de trabajo, presentó una prueba que inicialmente consideró correcta. Esta prueba implicaba descomponer el problema en varias partes y aplicar principios geométricos para resolver el enigma en su totalidad. No obstante, más adelante, descubrió un error fundamental en su razonamiento.
Este error salió a la luz cuando decidió crear muestras físicas y experimentar con diferentes cortes para comprender mejor su estructura. Fue entonces cuando se dio cuenta de que la tira bidimensional no tenía la forma esperada de un paralelogramo, sino más bien la de un trapecio.
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"El cálculo corregido me dio el número que era la conjetura", dijo Schwartz a Scientific American. "Me quedé boquiabierto... Me pasé los tres días siguientes casi sin dormir, escribiendo esto", agregó.
Este descubrimiento abre nuevas puertas a la comprensión de la cinta de Möbius, pero aún quedan misterios por resolver. La conjetura que ha comprobado Schwartz se aplica únicamente a tiras de Möbius con una sola vuelta, no a las que tienen tres o más. Por lo tanto, aunque está satisfecho con su trabajo, Schwartz se ha propuesto ahora investigar cuán corta puede ser una banda de Möbius si se tuerce más de una vez.
