"Fue uno de los grandes eventos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor".
Así describió Bertrand Russell –el pacifista, matemático, filósofo y autor ganador del Nobel de literatura en 1950– de su primer encuentro con los Elementos de Euclides, cuando tenía 11 años.
"Nunca me había imaginado que existiera algo tan delicioso en el mundo", agregó Russell.
Y Albert Einstein, quien cuando niño tenía una copia de los 13 libros que componen el tratado, que atesoraba, también era un entusiasta.
"Si Euclides no logró encender tu entusiasmo juvenil, no naciste para ser un pensador científico", dijo.
Aparecido alrededor del siglo 300 a.C. en Alejandría, Egipto, Elementos se instaló como una de las obras de matemáticas más importantes y sigue arraigada en todo lo que los matemáticos hacen hasta hoy en día.
Y aunque en cierto sentido se trataba de una compilación de sabiduría acumulada, algunas de las ideas contenidas en el libro eran una verdadera revelación.
Tantro que Marcus du Sautoy, profesor de matemáticas y titular de la cátedra Simonyi de Difusión de la Ciencia en la Universidad de Oxford, equipara su exploración de los números primos al descubrimiento del átomo.
En los Elementos, por primera vez, había argumentos lógicos que explicaban la razón de que algunos conceptos matemáticos funcionaban siempre, en cualquier situación.
Se convirtió en la esencia de la enseñanza y comprensión de esta ciencia por más de 2.000 años.
La verdad
"Las matemáticas existían desde al menos 2000 a.C. Los egipcios y babilonios usaban una clase de matemáticas", recuerda Du Sautoy.
"Pero lo que vemos en Elementos es muy diferente", destaca.
"Anteriormente había unas matemáticas muy prácticas, resolvían algunas ecuaciones o encontraban ejemplos del teorema de Pitágoras".
"Para mí, Elementos es el principio de la matemática como una asignatura analítica y deductiva. Dejó de tratarse sólo de ejemplos para pasar a ser la búsqueda de verdades universales", explica el experto.
Los Elementos son, según él, la culminación de siglos de la labor de los matemáticos griegos, y presentan la idea de que con las matemáticas puedes probar cosas con 100% de certeza.
El momento
A pesar de ser en parte una compilación de sabiduría acumulada –que si bien admiró, no sorprendió a los contemporáneos– hay razones para que haya aparecido precisamente en ese momento.
"En Babilonia y Egipto antiguo aparecieron las matemáticas porque estaban empezando a hacer ciudades, a medir terrenos, a construir, de manera que todo estaba orientado a las necesidades prácticas. Pero lo que empieza a aparecer en Grecia en 300 a.C. son las instituciones políticas: el poder de la retórica, la habilidad de usar el lenguaje para persuadir a la audiencia".
El relato se volvió importante pero, ¿qué tiene eso que ver con las matemáticas?
"Eso es algo que a veces no apreciamos: las matemáticas son emotivas, cuentan historias", asegura Du Sautoy.
"Los Elementos de Euclides están llenos de historias que nos llevan de un lugar que entendemos y en el que nos sentimos seguros y felices a un sitio nuevo. Y, para mí, ese es el momento transformativo", dice Du Sautoy.
"En mi opinión, esta obra es digna de ser comparada con 'La Ilíada' o 'La Odisea'.El lector viaja en su mente", se emociona el matemático.
El viaje
"El primero de los 13 libros de Elementos comienza con definiciones", explica June Barrow-Green, profesora de la Historia de las Matemáticas de la Universidad Abierta británica.
¿Las recuerdas?
- Un punto es lo que no tiene partes.
- Una línea es una longitud sin anchura.
- Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.
Estas son tres de las 23 definiciones... así de básicas.
Luego hay cinco postulados geométricos.
"El primero, por ejemplo, es que es posible dibujar una línea recta entre dos puntos, pero sólo una", señala Barrow-Green y subraya: "Hay que saber que se pueden hacer estas cosas. Y que puedes extender esa línea recta continuamente en ambas direcciones, el segundo postulado", explica la historiadora de las matemáticas.
Y las otros cinco nociones comunes o axiomas –tan evidentes que se admiten sin explicación– tienen que ver con magnitud.
Lo maravilloso es que, después de que Euclides los plantea, son más que obvios.
Sin embargo son el punto de partida de un libro de geometría muy complicado: es como si estuviera presentando las piedras angulares sobre las cuales construir.
"Efectivamente, no puedes ir a ningún lugar si no partes de lo ahí", confirma la historiadora.
¿Dónde está la genialidad?
Una línea es una línea, un punto es un punto... Pues sí, pero ¿a qué se debe tanta emoción?
"Esa es la magia de los Elementos, porque uno empieza con cosas tremendamente evidentes sin saber cómo va a llegar a algo interesante", irrumpe Du Sauvoy.
"Entonces: tenemos los cimientos. Luego viene la lógica y la deducción. De ahí emergen 13 capítulos en los que se van descubriendo más y más cosas interesantes. Por ejemplo: conocemos el teorema de Pitágoras...".
"...Euclides utiliza las reglas de deducción a partir de esos axiomas tan básicos para demostrarnos por qué ese teorema siempre tiene que ser verdad para todos los triángulos rectángulos. Y cada nueva afirmación, como esa, es piedra angular para resolver el siguiente interrogante".
Así fue construyendo todo un palacio de sabiduría, valiéndose solamente de una regla y un compás... algo que también fecundó más ideas, ya que sus contemporáneos y varias generaciones siguientes de homólogos siguieron tratando de avanzar el conocimiento usando únicamente esos dos instrumentos.
"Se proponían problemas como el de la cuadratura del círculo: el reto de hallar un cuadrado que posea un área igual a la de un círculo dado. Sólo a finales del siglo XIX se demostró que era imposible hacerlo. Yo creo que desde la Grecia clásica se sabía que no era viable, pero intentarlo era muy enriquecedor", le explica a la BBC Barrow-Green.
De un punto al infinito
"Todos empezamos con Euclides, aunque no te lo hayan dicho en la escuela", señala Du Sauvoy.
Y, en su caso, hubo dos chispas que encendieron su pasión por las matemáticas.
"Una fue que los números primos son infinitos y la otra fue que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, no se puede expresar como una fracción".
"Pensé: ¡Wow! ¿Y eso se puede probar?"
Para Du Sauvoy, la primera de esas chispas es una ilustración de cuán lejos puede llegar Euclides con los postulados y la lógica.
"Desde mi punto de vista es la más maravillosa prueba –quizás la primera prueba– de las matemáticas: que números primos, los que sólo se pueden dividir por sí mismos o por 1, son infinitos".
El matemático nos invita a que demos con él un número finito pasos con los que lograremos llegar al infinito, y que nos mostrarán la esencia de los Elementos de Euclides: probar algo y edificar sobre ello.
"Euclides empieza con el hecho de que todos los números son primos o divisibles por un primo; son los átomos de las matemáticas".
"Después nos dice: 'supón que la cantidad de esos números primos es finita. Toma esa lista, multiplica esos primos juntos'".
"Es entonces cuando vemos el destello de genialidad. Le añade 1 a ese resultado".
Pero, ¿por qué es genial?
"Porque, luego nos dice: 'Mira el resultado. Ya habíamos probado que todos los números son primos o divisibles por un primo. Ahora toma la lista de los primos que tenías: si divides este número nuevo por cualquiera de esos, siempre te sobra un 1".
"Ese detalle implica que ese nuevo número siempre será indivisible por los demás primos. Así que ese número tiene que ser un nuevo número primo o divisible por uno de los primos que no tenías en la lista. Y si estás pensando: 'Pues añado esos a la lista', Euclides vuelve a proponerte el mismo juego".
"Con ese pequeño argumento lógico demuestra que los números primos continúan eternamente".
"Eso es algo hermoso: que una mente finita pueda concebir el infinito".
Quizás es por eso que la única obra que supera a los Elementos de Euclides en cantidad de ediciones publicadas es la Biblia.
